درسنامه آموزشی فصل دوم حسابان (2) کلاس دوازدهم علوم ریاضی

معادلات مثلثاتی

معادله‌ای که در آن اطلاعاتی از نسبت‌های مثلثاتی یک زاویهٔ مجهول داریم، یک معادلهٔ مثلثاتی نام دارد.

مثال: تابع مثلثاتی $y = \sin x$ را که نمودار آن در زیر رسم شده است در نظر بگیرید.

همان‌طور که از نمودار پیداست، صفرهای این تابع جواب‌های معادله مثلثاتی $\sin x = 0$ می‌باشد. به عبارت دیگر جواب‌های این معادله که به‌صورت $x = ...\,,\, - 3\pi \,,\, - 2\pi \,,\, - \pi \,,\,0\,,\,\pi \,,\,2\pi \,,\,3\pi \,,\,...$ می‌باشد، محل تقاطع تابع ثابت $y = 0$ (یعنی محور $x$ها) و تابع $y = \sin x$ است.

این جواب‌ها را می‌توان به صورت کلی $x = k\pi $ که $k$ یک عدد صحیح است نمایش داد.

به‌طور مشابه جواب‌های معادله $\sin x = 1$ مقادیری از $x$ هستند که به ازای آنها مقدار $\sin x$ برابر 1 می‌شود.

این مقادیر محل تقاطع $y = 1$ و $y = \sin x$ است که در نمودار زیر رسم شده‌اند.

جواب‌های این معادله به‌صورت

$x = ...\,,\,\frac{\pi }{2} - 4\pi \,,\,\frac{\pi }{2} - 2\pi \,,\,\frac{\pi }{2}\,,\,\frac{\pi }{2} + 2\pi \,,\,...$

می‌باشند که به‌صورت کلی $x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}$ قابل نمایش است.

اکنون معادله $\sin x = \frac{1}{2}$ را در نظر می‌گیریم. فعالیت بعد به شما کمک می‌کند تا جواب‌های این معادله را بیابید.

برای عدد حقیقی $ - 1 \leqslant a \leqslant 1$ که $\sin x = a$، زاویه‌ای مانند $\alpha $ وجود دارد که برای آن داریم $\sin \alpha  = a$. بنابراین معادله $\sin x = a$ به‌صورت $\sin x = \sin \alpha $ بازنویسی می‌شود. اکنون برای یافتن جواب‌های معادله $\sin x = \sin \alpha $ باید رابطه بین کمان‌های $x$ و $\alpha $ را بیابیم.

با توجه به دایره مثلثاتی زیر رابطه بین کمان معلوم $\alpha $ و کمان‌های مجهول $x$ به‌طوری که $\sin x = \sin \alpha $ در دوران‌های مختلف به‌صورت زیر است:

$x = (2k + 1)\pi  - \alpha \,\,\,\,,\,\,\,\,\,k \in \mathbb{Z}$    و    $\sin x = \sin \alpha  \Rightarrow x = 2k\pi  + \alpha $

مثال: معادلهٔ $\sin x =  - \frac{1}{2}$ را حل کنید.

$\sin x =  - \frac{1}{2}$

$\sin x = \sin ( - \frac{\pi }{6})$

$\left\{ \begin{gathered}
  x = 2k\pi  - \frac{\pi }{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\
  x = 2k\pi  + \frac{{7\pi }}{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

مثال: جواب‌های معادله $\cos x = \frac{1}{2}$ را به‌دست آورید. کدام جواب‌ها در بازه $\left[ { - 3\pi \,,\,\pi } \right]$ می‌باشند؟

می‌دانیم $\cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}$ پس معادله به‌صورت $\cos x = \cos \frac{\pi }{3}$ می‌باشد. بنابراین جواب‌های کلی معادله به‌صورت زیر هستند:

$x = 2k\pi  \pm \frac{\pi }{3}\,\,\,,\,\,\,k \in \mathbb{Z}$

اکنون با جایگذاری مقادیر صحیح به جای $k$ در عبارت فوق نتیجه می‌شود که جواب‌های $x =  - 2\pi  - \frac{\pi }{3}\,,\, - 2\pi  + \frac{\pi }{3}\,,\, - \frac{\pi }{3}\,,\,\frac{\pi }{3}$ از معادله فوق در بازه داده شده می‌باشند.

مثال: معادله $\sin 2x = \sin 3x$ را حل کنید.

می‌دانیم که جواب‌های این معادله به شکل زیر هستند:

$\left\{ \begin{gathered}
  2x = 2k\pi  + 3x \Rightarrow x = 2k\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\
  2x = (2k + 1)\pi  - 3x \Rightarrow x = \frac{{(2k + 1)\pi }}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

مثال: معادله $2\sin 3x - \sqrt 2  = 0$ را حل کنید.

$2\sin 3x - \sqrt 2  = 0$

$2\sin 3x = \sqrt 2 $

$\sin 3x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \sin 3x = \sin \frac{\pi }{4} \Rightarrow $

$\left\{ \begin{gathered}
  3x = 2k\pi  + \frac{\pi }{4} \Rightarrow x = \frac{{2k\pi }}{3} + \frac{\pi }{{13}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\
  3x = (2k + 1)\pi  - \frac{\pi }{4} \Rightarrow x = \frac{{(2k + 1)}}{3}\pi  - \frac{\pi }{{12}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

مثال: یک بازیکن هندبال توپ را با سرعت $16m/s$ برای هم تیمی خود که در 12/8 متری او قرار دارد پرتاب می‌کند. اگر رابطه بین سرعت توپ $v$ (بر حسب متر بر ثانیه)، مسافت طی شده افقی $d$ (بر حسب متر) و زاویه پرتاب $\theta $ به‌صورت زیر باشد، آنگاه زاویه پرتاب توپ چقدر بوده است؟

$d = \frac{{{v^2}\sin 2\theta }}{{10}}$

از رابطه داده شده به‌دست می‌آید:

$12/8 = \frac{{{{(16)}^2}\sin 2\theta }}{{10}} \Rightarrow \sin 2\theta  = \frac{{12/8 \times 10}}{{256}} \Rightarrow $

$\sin 2\theta  = \frac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  2\theta  = 2k\pi  + \frac{\pi }{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\
  2\theta  = (2k + 1)\pi  - \frac{\pi }{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

با توجه به شکل، جواب قابل قبول $\theta  = \frac{\pi }{{12}}$ و $\theta  = \frac{{5\pi }}{{12}}$ می‌باشد.

مثال: جواب‌های معادله $\sin x\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$ را به‌دست آورید.

$2\sin x\cos x = 2\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\sin 2x = \sin \frac{\pi }{3} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  2x = 2k\pi  + \frac{\pi }{3} \Rightarrow x = k\pi  + \frac{\pi }{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\
  2x = (2k + 1)\pi  - \frac{\pi }{3} \Rightarrow x = \frac{{(2k + 1)\pi }}{2} - \frac{\pi }{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

مثال: معادله $\cos x(2\cos x - 9) = 5$ را حل کنید.

ابتدا این معادله را به‌صورت $2{\cos ^2}x - 9\cos x - 5 = 0$ می‌نویسیم. با تغییر متغیر $\cos x = t$ می‌توان معادله فوق را به معادله درجه دوم $2{t^2} - 9t - 5 = 0$ تبدیل کرد. جواب‌های این معادله $t =  - \frac{1}{2}$ و $t = 5$ است. بنابراین جواب های معادله مثلثاتی بالا از حل دو معادله ساده $\cos x = 5$ و $\cos x =  - \frac{1}{2}$ به‌دست می‌آیند. از آنجا که $\cos x = 5$ جواب ندارد (چرا؟) فقط جواب‌های معادله $\cos x =  - \frac{1}{2}$ را به‌دست می‌آوریم.

$\cos x =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow x = 2k\pi  \pm \frac{{2\pi }}{3}\,\,\,,\,\,\,k \in \mathbb{Z}$

مثال: معادله $\sin x + \cos x = 1$ را در بازه $0 \leqslant x \leqslant 2\pi $ حل کنید.

$\sin x + \cos x = 1$

$\sin x = 1 - \cos x$

طرفین را به توان 2 می‌رسانیم.          ${\sin ^2}x = {(1 - \cos x)^2}$

استفاده از رابطه ${\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x$          ${\sin ^2}x = 1 - 2\cos x + {\cos ^2}x$

$1 - {\cos ^2}x = 1 - 2\cos x + {\cos ^2}x$

$2{\cos ^2}x - 2\cos x = 0$

$\cos x - 1 = 0$   یا         $2\cos x(\cos x - 1) = 0 \Rightarrow 2\cos x = 0$

اکنون جواب‌های معادله‌های به‌دست آمده را در بازه $0 \leqslant x \leqslant 2\pi $ می‌یابیم:

$2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\,,\,\frac{{3\pi }}{2}$

$\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = 0\,,\,2\pi $

از آنجا که در گام سوم از به توان رساندن استفاده کرده‌ایم باید جواب‌های به‌دست آمده فوق را در معادله گذاشته و درستی آنها را تحقیق کنیم (چرا؟). پس از بررسی معلوم می‌شود که $x = \frac{{3\pi }}{2}$ جواب معادله داده شده نیست و بنابراین غیرقابل قبول است اما $2\pi $ و $x = 0\,,\,\frac{\pi }{2}$ مقادیر به‌دست آمده جواب معادله در بازه داده شده هستند.

در شکل زیر نمودار تابع $y = \tan x$ و خط $y = a$ که $a$ یک عدد حقیقی است رسم شده‌اند. از روی نمودار این دو تابع می‌توان مشاهده کرد که جواب‌های معادله $\tan x = a$ همان طول نقاط تقاطع دو نمودار است. در واقع همواره برای عدد حقیقی $a$، که $\tan x = a$ زاویه‌ای چون $\alpha $ وجود دارد که برای آن داریم $\tan \alpha  = a$. بنابراین معادله $\tan x = a$ به‌صورت $\tan x = \tan \alpha $ بازنویسی می‌شود. اکنون برای یافتن جواب‌های معادله $\tan x = \tan \alpha $ باید رابطه بین زوایای $x$ و $a$ را بیابیم.

از دایره مثلثاتی و محور تانژانت در شکل زیر می‌توان دریافت که رابطه بین زوایای $x$ و $\alpha $ به‌صورت $x = k\pi  + \alpha $ که $k$ یک عدد صحیح است، می‌باشد.

در نمودار بالا اگر $a = 1$ باشد، داریم:

$\tan x = 1 \Rightarrow \tan x = \tan \frac{\pi }{4} \Rightarrow x = k\pi  + \frac{\pi }{4}\,\,(k \in z)$

مثال: معادله $\tan x = \tan 5x$ را حل کنید.

$x = k\pi  + 5x \Rightarrow 4x = k\pi  \to x = \frac{{k\pi }}{4}$

حل:

جواب‌هایی قابل قبول‌اند که باقی ماندهٔ $(k \in \mathbb{Z})k$ بر 4 برابر 2 نباشد. (چرا؟)

تانژانت مجموع و تفاضل دو زاویه

از روابط مجموع و تفاضل زوایا برای نسبت‌های مثلثاتی سینوس و کسینوس می‌توان روابط مجموع و تفاضل زوایا را برای تانژانت به‌صورت زیر به‌دست آورد.

$\tan (\alpha  + \beta ) = \frac{{\sin (\alpha  + \beta )}}{{\cos (\alpha  + \beta )}} = \frac{{\sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta }}{{\cos \alpha \cos \beta  - \sin \alpha \sin \beta }}$

$ = \frac{{\frac{{\sin \alpha \cancel{{\cos \beta }}}}{{\cos \alpha \cancel{{\cos \beta }}}} + \frac{{\cancel{{\cos \alpha }}\sin \beta }}{{\cancel{{\cos \alpha }}\cos \beta }}}}{{\frac{{\cancel{{\cos \alpha \cos \beta }}}}{{\cancel{{\cos \alpha \cos \beta }}}} - \frac{{\sin \alpha \sin \beta }}{{\cos \alpha \cos \beta }}}} = \frac{{\tan \alpha  + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }}$

همچنین با تغییر $\beta $ به $ - \beta $ در رابطه فوق رابطه تفاضل زوایا به‌صورت زیر به‌دست می‌آید.

$\tan (\alpha  - \beta ) = \frac{{\tan \alpha  - \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha \tan \beta }}$

مثال: نشان دهید در شکل زیر رابطه بین زاویه دید دوربین $(\beta )$ با فاصله افقی آن با تابلو نقاشی به‌صورت زیر است.

$\tan \beta  = \frac{{2/5x}}{{{x^2} + 1/5}}$

سپس زاویه دید را در حالتی که فاصله افقی برابر یک متر است به‌دست آورید.

حل: با توجه به شکل برای مثلث قائم‌الزاویه پایین شکل داریم:

$\tan \alpha  = \frac{{0/5}}{x}$

همچنین برای مثلث بزرگ که یک زاویه آن $\theta $ است داریم:

$\tan \theta  = \frac{3}{x}$

اکنون با استفاده از رابطه تفاضل زوایا برای تانژانت به‌دست می‌آید:

$\tan \beta  = \tan (\theta  - \alpha ) = \frac{{\tan \theta  - \tan \alpha }}{{1 + \tan \theta \tan \alpha }} = \frac{{\frac{3}{x} - \frac{{0/5}}{x}}}{{1 + \frac{3}{x} \times \frac{{0/5}}{x}}} = \frac{{\frac{{2/5}}{x}}}{{\frac{{{x^2} + \frac{3}{2}}}{{{x^2}}}}} = \frac{{2/5x}}{{{x^2} + \frac{3}{2}}}$

وقتی فاصله افقی برابر یک متر آنگاه داریم:

$x = 1 \to \tan \beta  = \frac{{2/5 \times 1}}{{{1^2} + \frac{3}{2}}} = \frac{{2/5}}{{2/5}} = 1$

از طرفی می‌دانیم که $\tan \frac{\pi }{4} = 1$ پس جواب‌های معادله $\tan \beta  = 1$ به‌صورت زیر به‌دست می‌آیند:

$\beta  = k\pi  + \frac{\pi }{4}$

لیکن با توجه به شکل تنها جواب منطقی در حالت $k = 0$ که مقدار $\beta  = \frac{\pi }{4}$ را به‌دست می‌دهد قابل قبول می‌باشد.